Séance n°2 - Numérisation I : Echantillonnage & quantification

1. Approfondissement des bases trigonométriques

• Un cercle est défini par son rayon \( R \) (ou son diamètre \( D = 2R \) ) . Le périmètre de ce cercle (sa longueur) est égale à \( P = 2 \pi R \).
• En trigonométrie, il est usuel de définir un point du cercle unitaire par l'angle qu'il fait avec l'axe des abscisses dans le sens trigonométrique (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).
• Explication des différentes unités d'angles.
  • degrés (0°: angle zéro, 90°: angle droit, 180°: angle "plat", 270°: angle plat + angle droit, 360°: tour complet)
  • radians (0rad: angle zéro, \( \pi/2 \): angle droit, \( \pi \): angle "plat", \( 3 \pi/2 \): angle plat + angle droit, \( \pi \): tour complet)
  • un angle négatif correspond à parcourir le cercle dans l'autre sens, le sens anti-trigonométrique (dans le sens des aiguilles d'une montre). 
  • si un angle peut-être négatif ou positif (et non pas seulement positif, comme avec un rapporteur), on parle alors d'angle orienté.
• Ces unités sont équivalentes. Un angle en radian \( \theta \) correspond en fait à la longueur de l'arc de cercle parcouru sur le cercle unitaire entre le point d'angle 0 (son intersection avec l'axe des abscisses) et le point de ce même cercle d'angle \( theta \). (demo)
• De manière similaire, il existe différentes unités de fréquence.
  • la fréquence est l'unité réciproque / inverse de la période de l'onde. 
    
  • L'inverse de la période de l'onde en secondes \( f = 1 / T \) est appelé hertz.
  • Cette fréquence peut être aussi comptées en rad/s, en multipliant simplement cette fréquence par \( 2 \pi \) : \( \omega = 2 \pi f \). Dans ce cas là, on parle de pulsation.
  • Ainsi, une onde dépendante du temps \( t \) (en secondes) peut être écrite \( x(t) = \sin{(2 \pi f t)} = \sin{(\omega t)} \)
• Importance des identités trigonométriques.
  • les fonctions trigonométriques sont reliées par nombre de relations, qu'on appelle identités trigonométriques.
  • ces identités sont fondamentales en traitement du signal, notamment: 
    • relations de déphasage entre les fonctions \( \cos \) et \( \sin \), qu'on peut se représenter comme des ondes déphasées de \( \pi / 4 \).
    • expression d'une somme d'ondes comme produits d'ondes de fréquences différentes. 
• Une conséquence importante de ces identités trigonométriques : les battements.
  • La somme des deux ondes de fréquences très rapprochées, \( f_1 f_2 \), d'un décalage fréquentiel \( \Delta f = f_2 - f_1 \), peut être re-écrit comme le produit de deux ondes : 
    
    • une de fréquence \( (f_1 + f_2) / 2 \), la moyenne des deux fréquences
    • une de fréquence \( f_1 - f_2) /2 = \Delta f / 2 \), soit la moitié du décalage fréquentiel \( \Delta f / 2 \).
  •  Si ces fréquences ont une différence de moins de 20Hz, cette deuxième onde passe en dessous du domaine timbral, et module donc perceptivement l'amplitude de la première (démo) 
  • Ce phénomène s'appelle battement (démo), et se retrouve régulièrement dans le travail acoustique analogique ou numérique (accordage de pianos, synthèse sonore, sonorisation, compression, etc.).

2. Notion de phase 

• La notion de phase est fondamentale en traitement du signal audio. 
• La phase représente le "décalage" d'un onde par rapport à une référence. Cette phase, usuellement notée \( \varphi \), est équivalente à un angle et peut être comptée en degrés ou en radian. Cette référence est généralement la phase nulle \( \varphi = 0 \) ; ainsi, on peut donc écrire : 
  • \( \cos{(2 \pi f t)} \) : onde de phase nulle, référence
  • \( \cos{(2 \pi f t) + \varphi} \) : onde de phase \( \varphi \).
    
• Augmenter la phase "décale" l'onde vers la gauche, tandis que décroître la phase décale l'onde vers la droite (démo).
• Cette phase est extrêmement importante, et a de nombreuses implications techniques et perceptives. 
  • sommer deux ondes de même fréquence peut, selon la différence de phase entre ces deux ondes, doubler cette onde (si les phases sont les mêmes) ou annuler cette onde (si la différence de phase est égale à \( \pi / 2 \) ) (démo).
  • dans la mesure ou cette phase peut représenter le décalage temporel entre des sources sonores (haut-parleurs, instruments...), cette propriété sommative explique les annulations de phase qui se produisent lors la diffusion sonore dans un espace acoustique (démo).
  • c'est d'ailleurs pour cette raison que les ingénieurs du son, lors de la sonorisation d'espace profonds, déphasent les différentes strates de leur sono.
• Le spectre d'un son, obtenu soit par transformée de Fourier soit par transformée de Fourier court-terme, est en réalité la combinaison de deux composantes : 
  • la magnitude du spectre, représentant l'amplitude des ondes pures composant ce son 
  • la phase du spectre, représentant le décalage de ces ondes pures. 
  • dans le cas de la transformée de Fourier court-terme, cette phase peut avoir des implications importantes, notamment lors de manipulations technique ou créative (vocoder de phase, pitch shifting, AutoTune...).

3. Numérisation : Définition et principes de base

• La numérisation consiste en la transformation d’un signal analogique (continu) en une suite de valeurs numériques (discrète en temps et en amplitude).
• Signal continu
  • Un signal dont le passage d'une valeur \( a \) à une valeur \( b \) passe par toutes les valeurs entre ces deux extrémités. 
  • Autrement dit, l'ensemble est indénombrable: toute section finie de cette ensemble possède un nombre d'éléments possible (aussi appelé cardinalité) inifini.
  • Dans le domaine discret, un objet mathématique est appelé une fonction.
    
• Signal discret
• • Un signal dont le nombre de valeurs possibles est limité. 
  • Autrement dit, l'ensemble est dénombrable: toute section finie de cette ensemble possède seulement un nombre donné d'éléments possible.
  • Attention, un ensemble discret peut être infini mais quand même dénombrable (ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) ou relatifs \( \mathbb{Z} \) ).
  • Dans le domaine discret, un objet mathématique est appelé une série, ou une suite.
    
• Une onde peut être ainsi représentée comme : 
  • une fonction du temps \( t \) dans le domaine temporel continu : \( x(t) = \cos{(2 \pi f t)} \)
  • une série dans le domaine temporel discret : \( x[n] = \cos{( 2 \pi f / f_s n \) (nous introduirons \( f_s \) plus tard).
• L'opération d'intégration dans le domaine continu peut-être représenté comme l'équivalent de la moyenne dans le domaine discret : somme pondérée de tous les éléments de la série / fonction (démo). L'intégration est cependant plus délicate, et nécéssite le recours au calcul infinitésimal. 
• Le processus de numérisation d'un signal consiste en :
  • Transduction via un microphone : transforme la pression acoustique en variation de tension électrique.
  • Amplification, filtrage, puis conversion en numérique via un CAN (Convertisseur Analogique-Numérique).
  • L’opération inverse est réalisée par un CNA (Convertisseur Numérique-Analogique).
• La numérisation d'un signal consiste donc en une double discrétisation : 
  • la discrétisation temporelle, appelé processus d'échantillonnage
  • la discrétisation en amplitude, appelé processus de quantification.

4. Échantillonnage : Définition et rôle

• Échantillonnage : capture de valeurs du signal à des intervalles temporels réguliers, aussi appelée fréquence d’échantillonnage. Nous la noterons par la suite \( f_s \).
  • Analogie : prendre une série de photographies pour en capturer l'évolution... ce qui s'appelle aussi la vidéo.
  • Cette fréquence d'échantillonnage est mesurée comme les fréquences définies ci-dessus : une fréquence d'échantillonnage de 4Hz correspond à capturer le signal toutes les 250ms.
  • En anglais, l'échantillonnage se dit sampling. La fréquence d'échantillonnage se dit donc sampling rate.
• L'échantillonnage d'un signal a une conséquence extrêmement importante : le phénomène de repliement.
  • Le phénomène de repliement est basé sur une incertitude lors de la regénération d'un signal echantillonné.
  • Par exemple, si on prend une fréquence d'échantillonnage de 1Hz, une onde de période \( f_1 = 0.1 \) a strictement la même numérisation qu'une onde de période \( f_2 = 1 - f_1 = 0.9 \). Ainsi, a la restitution, une onde de période 0.9Hz sera restituée comme une onde de 0.1 Hz  : on dit que l'onde se replie. 
  • On peut donc logiquement se représenter que : tout onde de fréquence \( f > f_e / 2 \) supérieure à la moitié de la fréquence de l'échantillonnage se repliera sur une fréquence inférieure à cette fréquence d'échantillonnage. 
  • En prenant des lunettes spectrales, on peut se représenter la conséquence suivante : discrétiser un signal entraîne la duplication en miroir de ce spectre tous les \( f_e \).
• Le théorème de Shannon-Nyquist
  •  nous dit qu’un signal continu peut être intégralement décrit en prélevant des échantillons à intervalles réguliers à une fréquence au moins deux fois supérieure à la fréquence de la composante la plus élevée du signal.
• • Limite maximale des fréquences encodables = Fe/2 (Fe : fréquence d’échantillonnage).
  • Exemple : pour \( f_e \) = 44,1 kHz → Fréquence de Nyquist = 22,05 kHz (spectre audible : 20 Hz - 20 kHz).
• Fréquences usuelles en audio: 
  • 44100 Hz : norme audio (format CD)
  • 48000 Hz : norme audio / vidéo, ou format US
  • 96000Hz, ou plus : norme "audiophile", ou pour captations de matières sonores (pour déformation)
• La conséquence de ce phénomène de repliement est donc que, lors de l'echantilonnage d'un signal, les contenus de fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist doivent être filtrés ; autrement, ces contenus se replieront dans le bas du spectre, et vont corrompre l'enregistrement.
• C'est pour cette raison que les convertisseurs analogique-numérique filtrent le signal au-dessus de la fréquence de Nyquist. Ce filtre est appelé filtre anti-repliement.
• Sur-échantillonnage (oversampling) :
• Fréquence d’échantillonnage très élevée (ex. 1 MHz avec convertisseurs Delta-Sigma).
• Large marge pour filtrer efficacement les hautes fréquences avant la conversion.
• Réduction de la fréquence d’échantillonnage au niveau souhaité après filtrage numérique.
• Le sur-échantillonnage peut-être nécéssaire pour certains types de synthèse sonore.

5. Quantification : Définition et rôle

• Le processus de quantification décrit la manière dont les valeurs du signal sont discrétisées.
• En numérique, les valeurs sont encodées en système binaire. Plusieurs types de chiffrements sont possible, selon que les valeurs chiffrées soit des nombres entiers, relatifs, à virgule flottante, etc.
• La taille de ces données sont comptées en bits: 1 bit = 0 ou 1. 8 bits représentent un octet (o), ou un Byte (B). Ainsi 1Gb = 1.000.000.000 bits.
• La quantification en bits entiers consiste à l'encodage "direct" de l'ensemble de valeurs possibles avec des bits possibles. Ainsi, avec \( n \) bits, on peut encoder \( 2^n \) valeurs. 
  • Cet encodage n'est cependant pas toujours le plus adapté si le nombre de valeurs possibles est trop grand. La quantification en bit flottant améliore ce problème.
• On peut facilement se représenter que le nombre de valeurs possibles avec lequel on encode l'amplitude de signal numérisé, originellement continue, a un impact direct sur la qualité de la numérisation.
  • L'erreur de la quantification d'un signal peut-être représentée comme du rajout de bruit : effectivement, le fait que chaque valeur continue soit "rabattue" sur une autre valeur de la grille de quantification rajoute un "bruit" non présent dans la forme d'onde de base. 
  • Cette erreur est numériquement évaluable par le rapport signal sur bruit, ou signal-to-noise ratio (SNR), compté en décibel (echelle logarithmique). Plus il est élevé, plus cela veut dire que l'amplitude du signal est beaucoup plus élévé que l'amplitude du bruit amené par la quantification. 
• Une quantification est dite linéaire quand la grille de quantification est régulièrement espacée. 
  • Néanmoins, cette grille de quantification n'est pas très adaptée aux signaux audio, car souvent l'information est plus densifiée dans les énergies faibles (sons maintenus vs. transitoires, etc.). 
  • Ainsi, les amplitudes sonores sont le plus souvent quantifiées en utilisant une quantification non-lineaire, où la résolution dans les amplitudes faibles est plus grande que dans les amplitudes élevées. C'est ce qu'on appelle la quantification \( \mu \)-law, ou A-law (légèrement différentes mais équivalentes).