Séance n°1 - Introduction à la notion de signal, temps & fréquences

Introduction générale 
Nous avons introduit la thématique du cours ainsi que nos objectifs : 

• introduire et développer les notions de traitement du signal et d'informatique indispensables pour la bonne compréhension de la chaîne audionumérique
• introduction des procédés de traitement et de synthèse sonore
• préhension du double aspect de l'audionumérique : technique et esthétique.

Après cela, nous avons présenté le calendrier des 11 séances, et le mode de validation (examen final). 

Attention : obligation de présence au cours, si vous cumulez plus de trois absences, vous passez directement au rattrapage. 

Base du signal
Le contenu de la première séance est dédié à des rappels sur la notion de signal. 

1. Domaine temporel :

   • Un signal représente une information physique (tension, courant, onde sonore). La discipline consistant à analyser / synthétiser ces signaux s'appelle le traitement du signal.
   • La matérialité de ces signaux est fondamentale pour l'information transmise : elle modèle les limites de leur captation, leur fidélité, ainsi que leur possibles procédés d'interaction et de manipulation.
   • Types : numérique (valeurs discrètes) ou analogique (valeurs continues).
   • Une représentation dans le domaine temporelle est la variation des signaux dépendant du temps dans des représentations cartésiennes (abscisse: temps, ordonnée : amplitude).
     
     

2. Signaux périodiques :
   Nous avons rappelé les caractéristiques essentielles des signaux périodiques. 

   • Un signal périodique répète un cycle (durée = période, T), ou forme d'onde. 
   • Amplitude : c'est l'écart maximum entre la valeur minimum et la valeur maximale de l'onde.
   • Fréquence (f) = nombre de cycles par seconde, mesurée en Hertz (f = 1/T).
     
     

3. Fonctions sinus et cosinus :
   Rappels sur les signaux purs. 

• Les fonctions trigonométriques de base, sinus et cosinus, sont basées sur les coordonnées (x, y) des points du cercle de rayon 1 (aussi appelé cercle unitaire). Si nous notons le centre du cercle O=(0,0), Chaque point P de ce cercle est identifié par l'angle θ entre (0,1), intersection du cercle unitaire et de l'axe x des abscisses, et du point P.
• Sinus : abscisse du point P correspondant à l'angle θ du cercle unité. 
• Cosinus : ordonnée du point P correspondant à l'angle θ du cercle unité. 
• Le cosinus est déphasé de 90° par rapport au sinus.
• Ces signaux peuvent être qualifiés de purs : ce sont les éléments de base des fonctions périodiques.
• Ces fonctions de base ont deux propriétés physiques : 
• Elles se retrouvent dans bon nombre d'équations physiques, système masse-ressort (demo), corde libre (demo), etc.
• En musique particulièrement, elles peuvent correspondre à : 
• le signal le plus simple contenant une fréquence perçue (>50Hz) (demo)
• une variation d'amplitude, voire un rythme (<20Hz)
• La somme (pondérée) des ces signaux produit le même signal, avec une possible variation d'amplitude et de phase (demo)
  
  

4. Signaux complexes et harmoniques :

   • A partir d'une fréquence fondamentale f₀, on peut définir une séquence de fréquences harmoniques : 2 * f₀, 3* f₀, ..., n*f₀, ...
   • Pour une onde pure de fréquence , on peut définir une suite d'harmoniques consistant en la suite d'ondes pures de fréquences 2 * f₀, 3* f₀, ..., n*f₀, ...
   • On peut synthétiser des signaux périodiques de fréquence f₀ de complexité arbitraire en sommant ces différentes harmoniques, avec des facteurs correspondant à l'amplitude de ces composantes (demo). Ce procédé de synthèse s'appelle la synthèse additive.
   • Des signaux complexes, comme l'onde carrée, ou en dents de scie sont la somme de plusieurs harmoniques (demo). En général, la somme de ces harmoniques produit une perception de hauteur, et la pondération de ces harmoniques influe sur le timbre du son perçu.
   • Dans le cas ou d'un signal composé de composants de fréquences non-harmoniques, nous appelons ces composants des partiels de ce son (demo)
   • Analyse fréquentielle distingue la fondamentale et les partiels (harmoniques ou non).
     
     

5. Série et transformée de Fourier :

   • Le théorème des séries de Fourier permet de décomposer tout signal périodique x(t) en une somme d'harmoniques élémentaires.
   • La transformée de Fourier permet de décomposer tout signal x(t) (périodique ou non) en une somme infinie de fréquences. Cette représentation du signal, appelé spectre ou X(f), est strictement équivalente (un signal correspond à un et seulement un spectre). Ce spectre est constitué de deux composantes : la magnitude, correspondant à l'amplitudes de ces composantes fréquentielles, et la phase ou l'angle, correspondant au décalage temporel de ces composantes (à approfondir plus tard).
   • FFT : version rapide pour le traitement numérique de la transformée de Fourier dans le domaine numérique (à approfondir plus tard).
     
   • Ce passage du domaine temporel au domaine fréquentiel (spectre) efface le temps de la représentation, et provoque par exemple le principe d'incertitude.
   • La transformée de Fourier court-terme, ou STFT, consiste a calculer le spectre d'un signal sur de petites parties découpées régulièrement. C'est donc un signal en 2 dimensions X(f, t) (donc similaire à une image), avec une contrainte cependant : si ces parties sont petites, le spectre évoluera vite mais avec une faible précision fréquentielle. Si les parties sont grandes, la précision fréquentielle sera grande mais évoluera lentement.