Séance 2

- Approfondissement des fonctions cosinus & sinus

- Introduction de la notion de phase

- Approfondissement du spectre et de la STFT : magnitude et phase, utilisations créatives

Unité d'angles :

- degrés (°) : cycle entre entre 0 et 360 (unité usuelle)

- radians (rad) : entre 0 et 2π (rayon du cercle)

périmètre du cercle C:

C = \pi * D = 2 \pi * R

angle en radian : longueur

\begin{align*} \cos{(\color{blue}{-\theta}} ) & = \cos{(\color{red}{\theta}}) \\ \sin{(\color{blue}{-\theta}} ) & = - \sin{(\color{red}{\theta}}) \end{align*}

pair

impair

\color{red}{\theta}

\color{blue}{-\theta}

\begin{align*} \sin{(\color{green}{\theta + \frac{\pi}{2}}} ) & = \cos{(\color{red}{\theta}}) \\ \cos{(\color{green}{\theta + \frac{\pi}{2}}} ) & = - \sin{(\color{red}{\theta}}) \end{align*}

\color{red}{\theta}

\color{green}{\theta} + \frac{\pi}{2}

lien vers formules complètes

Unité de fréquences :

- fréquence (Hz): inverse de la période en s

- pulsation: 2π * fréquence

x(t) = \sin{(2 \pi f \cdot t)}

t \in \mathbb{R}

Équation d'une onde pure de fréquence f :

La notion de phase est très importante pour les ondes.

La phase représente le "décalage temporel" de cette onde par rapport à une référence (en général par rapport à la phase nulle)

x(t) = \sin{(2 \pi f \cdot t)}

t \in \mathbb{R}

Équation d'une onde pure de fréquence f :

Équation d'une onde pure de fréquence f et de phase 𝜑

x(t) = \sin{(2 \pi f \cdot t + \varphi)}

t \in \mathbb{R}

\begin{align*} \cos(a) + \cos(b) &= 2\cos\Big(\frac{a + b}{2}\Big) \cos \Big(\frac{a - b}{2} \Big) \\ \sin(a) - \sin(b) &= 2\cos\Big(\frac{a + b}{2}\Big) \cos \Big(\frac{a - b}{2} \Big) \end{align*}

... que se passe-t-il pour des ondes quand a et b sont très proches?

b = a + \delta

(𝛿 petit)

\begin{align*} \cos(\omega_1 t) + \cos(\omega_2 t) &= 2\cos\Bigg(\frac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}\Bigg) \cos \Bigg(\frac{\delta t}{2} \Bigg) \\ \end{align*}

\omega_2 = \omega_1 - \delta

si inférieur à 20Hz, ça devient une modulation d'amplitude!

𝛿 : différence entre et

\omega_1

\omega_2

... pas que des délires mathématiques! ça a influence fondamentale sur l'acoustique et la musique

annulation de phase

superpositon d'ondes de même fréquence en opposition de phase (𝜑=90°;𝜋 rad)

attenuation, voir suppression d'amplitude

battements

superposition d'ondes de fréquences proches

apparition d'une onde de fréquence égale à la moyenne des deux fréquences, modulée par une onde de basse fréquence (LFO)

implications directes : mixage stéréo

left

right

x_{L}(t)

x_{R}(t)

mid

side

x_{M}(t) = \frac{x_L(t) + x_R(t)}{2}

x_{S}(t) = \frac{x_L(t) - x_R(t)}{2}

implications directes : mixage stéréo

left

right

x_{L}(t)

x_{R}(t)

mid

side

x_R(t) = \cos(\omega t + \varphi)

x_L(t) = \cos(\omega t)

annulation de phase!

implications directes : mixage live

déphasage pour scènes profondes : demo

le bon côté des choses : le contrôle actif

musique

bruit
ambiant

+ bruit ambiant en opposition de phase

x(t)

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{i\omega t}dt

transformée de fourier

\vert X(f) \vert

magnitude

\angle X(f)

phase

demo (fft)

demo (stft)

2. Numérisation d'un signal

Définition :

Transformation d'un signal analogique, dont les variations sont continues, en une suite de valeurs discrètes

Continu - Discret

ce qui est d'un seul tenant
ce qui module avec tous les degrés intermédiaires

ce qui est composé de valeurs distinctes séparées les unes des autres

Discret

ensemble dénombrable de valeurs

\{ 0, 1, 2, 3 \}

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots \}

\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}

\mathbb{Q} = \Big\{ \frac{n}{d}, n\in\mathbb{Z}, d\in\mathbb{Z}\Big\}

Continu

ensemble indénombrable de valeurs

\mathbb{R}

ensemble des nombres réels

\mathbb{C}

ensemble des nombres complexes

[ ]

...

Continu

sympa mais pas sympa

paradoxe de Zénon

Discret

ensemble dénombrable de valeurs

Continu

ensemble indénombrable de valeurs

\sum_{i=0}^{\infty} x[n] = x[0] + x[1] + x[2] + \dots

somme discrète

\int_{x=0}^{\infty} f(x)dx = \lim_{p\rightarrow 0} \sum_{i=0}^{\infty}f(x_i) * p

intégration ~ somme continue

2. Numérisation d'un signal

2. Numérisation d'un signal

ADC : analog to digital converter
CAN : convertisseur analogique-numérique

DAC : digital to analog converter
CNA : convertisseur numérique-analogique

2. Numérisation d'un signal

Échantillonnage

Denis Mercier, Livre des techniques du son, p.420

2. Numérisation d'un signal

A) Échantillonnage :

2. Numérisation d'un signal

discrétisation temporelle : échantillonage

2. Numérisation d'un signal

discrétisation d'amplitude : quantification

effet principal de l'échantillonage temporel :

le repliement

2. Numérisation d'un signal

A.2) Phénomène de repliement (aliasing) et incertitudes

2. Numérisation d'un signal

ambiguité de l'échantillonage

2. Numérisation d'un signal

repliement

2. Numérisation d'un signal

Théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist :

Trad. de Claude Shannon dans "Communication in the Presence of Noise" 1949

Un signal continu peut-être intégralement décrit en prélevant des échantillons à intervalles réguliers à une fréquence au moins deux fois supérieure à la fréquence de la composante la plus élevée du signal.

Si une fonction f(t) ne contient aucune fréquence supérieure à W Hz, elle est entièrement déterminée par la valeur de ses ordonnées à une série de points espacés de 1/2W secondes.

2. Numérisation d'un signal

2. Numérisation d'un signal

On appelle cette fréquence la fréquence de Nyquist, la fréquence maximale enregistrable à une fréquence d'échantillonnage Fe (sampling rate en anglais).

f_n = \frac{f_e}{2}

fréquence de Nyquist

fréquence d'échantillonage

2. Numérisation d'un signal

En audio, il faut donc choisir une fréquence d'échantillonage qui est le double de la fréquence maximum qu'on veut numériser

\begin{align*} & \sim 2 * 20000 \mathrm{Hz} \\ & \sim 40000 \mathrm{Hz} \end{align*}

Fréquences d'échantillonages usuelles :

44100 Hz : norme audio (format CD)
48000 Hz : norme audio / vidéo ou formats US
96000 Hz : norme "audiophile" (mais pk donc??)

2. Numérisation d'un signal

on filtre le signal avant numérisation pour éviter que les fréquences se replient pendant la numérisation !

2. Numérisation d'un signal

A.3) Filtre anti-aliasing : Filtrage analogique

Réalité :

Difficulté de réalisation, nécessite un filtre analogique d'ordre 13 minimum. Très difficile à réaliser sans "ripples" et très cher.

voir Max "spat5.filterdesign.chebyshev.maxhelp"

2. Numérisation d'un signal

A.3) Filtre anti-repliement (anti-aliasing) :

Src Comparison

Filtrage analogique
Filtrage numérique
OverSampling / Delta Sigma

A.4) Sur-échantillonnage (oversampling)

more info

2. Numérisation d'un signal

A.4) Sur-échantillonnage: Filtrage numérique

voir Plugin Doctor "fabfilter Pro Q 3"

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Simple à réaliser, il peut atteindre facilement des ordres élevés. Il peut induire beaucoup de latence.

2. Numérisation d'un signal

A.4) Sur-échantillonnage (oversampling)

voir Max "spat5.filterdesign.chebyshev.maxhelp"

more info

SNR = 6.02 × N + 1.76 dB + 10 × log_{10}(OSR)

OSR = \frac{f_s}{2* BW}

à 48 kHz = 0.8dB

à 96 KhZ = 3.8 dB

à 128x24kHz = 19 dB

10 × log_{10}(OSR)

2. Numérisation d'un signal

B) Quantification :

Action de calculer, de façon automatique, des valeurs numériques discrètes multiples d'un quantum, correspondant à une grandeur physique
CNRTL

2. Numérisation d'un signal

Système de numération base 10 (décimal)

Système de numération base 2 (binaire)

\begin{align*} & 1, 2, \dots, 9, 10, \\ & 11, 12, \dots, 99, \\ & 100, 101, 102 \dots \end{align*}

\begin{align*} & 0, 1, \\ & 10, 11 \\ & 100, 101, 110, 111 \\ & 1000, 1001 \dots 1111 \end{align*}

10^1 = 10

10^2 = 100

10^3 = 100

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16

Système de numération base 16 (héxadécimal)

2. Numérisation d'un signal

\begin{align*} & 0, 1, \dots \mathrm{9, A, B, C, D, E, F} \\ & \mathrm{10, 11 \dots 1E, 1F, 20, 21 \dots, 99, A0, A1 \dots FF} \\ & \mathrm{100, 101, \dots 109, 1A0 \dots FFF \\} \end{align*}

16^1 = 16

16^2 = 256

16^3 = 4096

2. Numérisation d'un signal

B.2) Multiplet et unités

Binary digIT: Bit (b)

Octet (o)

= 8bits

Bytes (B)

Généralement =8bits

Kilo	Méga	Giga	Tera
1000	1 000 000	1 000 000 000	1 000 000 000 000

10^3

10^6

10^9

10^{12}

2. Numérisation d'un signal

B.3) Quantification en bits entiers :

2. Numérisation d'un signal

B.3) Quantification en bits entiers :

Pour n bits, on a valeurs

2^n

2. Numérisation d'un signal

B.3) Quantification en bits entiers :

Le code binaire signé est obtenu en rajoutant un bit de signe devant le MSB au code binaire
naturel. Pour un bit de signe nul, le nombre est positif, il est négatif pour un bit égale à un. Le code binaire signé est peu propice aux opérations arithmétiques. Le code complément à 2 correspond au code binaire naturel pour les positifs, et à 2^n - A pour les négatifs

Pour n bits, la valeur maximale absolue est :

2^n-1

2. Numérisation d'un signal

B.8) Quantification à bit flottant :

Mantissa × 2^{exponent}

2. Numérisation d'un signal

B.4) Erreur de quantification & bruit

2. Numérisation d'un signal

B.4) Erreur de quantification & bruit

2. Numérisation d'un signal

B.5) Rapport signal sur bruit (RSBn)

SNR = 6.02 × N + 1.76 dB

2. Numérisation d'un signal

B.6) Distortion harmonique et dithering

2. Numérisation d'un signal

B.6) Distortion harmonique et dithering

2. Numérisation d'un signal

B.7) Quantification non-uniforme :

Dans certaines applications, le signal présente rarement de grandes amplitudes mais il est souvent d’amplitude faible. C’est le cas des signaux de parole. Aussi, il est intéressant d’avoir une quantification où le pas de quantification est différent dans les faibles et les grandes amplitudes. En téléphonie, la « loi A » permet d’obtenir la quantification représentée.

Vincent Mazet

https://vincmazet.github.io/signal1/numerisation/quantification.html

2. Numérisation d'un signal

C) Numérisation :