Séance 5

- Retour sur le théorème de l'échantillonnage et sur le spectre

 

- Retour et approfondissement de la quantification

 

Exercice interactif : période, amplitude, fréquence

Exercice interactif : spectres simples

x(t)
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-2\pi i f t}dt

transformée de fourier

\vert X(f) \vert

magnitude

\angle X(f)

phase

demo (fft)

demo (stft)

signal temporel

x(t)
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-2\pi i f t}dt

transformée de fourier

\vert X(f) \vert

magnitude

\angle X(f)

phase

signal temporel

temporel (secondes)

fréquentiel (Hz)

[-π ; π]

magnitude

phase

x(t)
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-2\pi i f t}dt

transformée de fourier

\vert X(f) \vert

magnitude

\angle X(f)

phase

signal

x(t)
\vert X(f) \vert
\angle X(f)

transformée de fourier

magnitude

phase

signal

x(t)
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-2\pi i f t}dt

transformée de fourier

\vert X(f) \vert

magnitude

\angle X(f)

phase

signal

x(t)
x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{2 \pi i f t}df
\vert X(f) \vert
\angle X(f)

transformée de Fourier
inverse
 

magnitude

phase

signal

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-2\pi i f t}dt

transformée de Fourier

\vert X(f) \vert

magnitude

\angle X(f)

phase

x(t)
x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{2 \pi i f t}df

transformée de Fourier
inverse
 

signal

analyse

synthèse

Définition :

Transformation d'un signal analogique, dont les variations sont continues, en une suite de valeurs discrètes

Continu - Discret

ce qui est d'un seul tenant
ce qui module avec tous les degrés intermédiaires

ce qui est composé de valeurs distinctes séparées les unes des autres

Numérisation d'un signal

Numérisation d'un signal

discrétisation temporelle : échantillonage

Numérisation d'un signal

discrétisation d'amplitude : quantification

discrétisation temporelle : échantillonage

➞ problème :

discrétisation d'amplitude : quantification

➞ problème :

discrétisation temporelle : échantillonage

discrétisation d'amplitude : quantification

➞ problème :

➞ problème : repliement 

discrétisation temporelle : échantillonage

discrétisation d'amplitude : quantification

➞ problème : repliement 

➞ problème : bruit de quantification​ 

Repliement

A partir d'une certaine fréquence, la fréquence d'une onde quantifiée descend plutôt que de monter! 

Repliement

A partir d'une certaine fréquence, la fréquence d'une onde quantifiée descend plutôt que de monter!   l'onde est ambigüe : elle peut correspondre à plusieurs fréquences!

Repliement

A une onde quantifiée, il existe dans le domaine continu une infinité d'ondes correspondantes (qui "matchent" la même suite de valeurs)

Heureusement, ce phénomène est facilement explicable; en réalité, le spectre du signal est "dupliqué" autour de tout multiple de la fréquence d'échantillonage

Donc, si la fréquence d'échantillonnage est mal choisie, certaines fréquences du signal seront ambigües et donc mal restituées

On appelle cette fréquence la fréquence de Nyquist, la fréquence maximale enregistrable à une fréquence d'échantillonnage Fe (sampling rate en anglais).

f_n = \frac{f_e}{2}

fréquence de Nyquist

fréquence d'échantillonage

En audio, il faut donc choisir une fréquence d'échantillonage qui est le double de la fréquence maximum qu'on veut numériser

on filtre le signal avant numérisation pour éviter que les fréquences se replient pendant l'échantillonnage!

Réalité :

Difficulté de réalisation, nécessite un filtre analogique d'ordre 13 minimum. Très difficile à réaliser sans "ripples" et très cher.

Tentative n°1 : avec un filtre analogique

Tentative n°1 : avec un filtre analogique

Tentative n°2  : avec un filtre analogique + digital

sur-échantillonnage : on échantillonne M fois plus

SNR = 6.02 × N + 1.76 dB + 10 × log_{10}(OSR)
OSR = \frac{f_s}{2* BW}

à 48 kHz = 0.8dB

à 96 KhZ = 3.8 dB

à 128x24kHz = 19 dB

10 × log_{10}(OSR)

voir Max "spat5.filterdesign.chebyshev.maxhelp"

more info

Tentative n°1 : avec un filtre analogique

Tentative n°2  : avec un filtre analogique + digital

Action de calculer, de façon automatique, des valeurs numériques discrètes multiples d'un quantum, correspondant à une grandeur physique
CNRTL

Quantification

Système de numération base 10 (décimal)

Système de numération base 2 (binaire)

\begin{align*} & 1, 2, \dots, 9, 10, \\ & 11, 12, \dots, 99, \\ & 100, 101, 102 \dots \end{align*}
\begin{align*} & 0, 1, \\ & 10, 11 \\ & 100, 101, 110, 111 \\ & 1000, 1001 \dots 1111 \end{align*}
10^1 = 10
10^2 = 100
10^3 = 100
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16

Quantification

Pour n bits, on a        valeurs

Quantification

2^n
Quantification en bits entiers :

Le code binaire signé est obtenu en rajoutant un bit de signe devant le MSB au code binaire
naturel. Pour un bit de signe nul, le nombre est positif, il est négatif pour un bit égale à un. Le code binaire signé est peu propice aux opérations arithmétiques. Le code complément à 2 correspond au code binaire naturel pour les positifs, et à 2^n - A pour les négatifs

Pour n bits, la valeur maximale absolue est :

2^n-1

Quantification

Mantissa × 2^{exponent}
Quantification en bits entiers :

Quantification

Quantification

 Erreur de quantification & bruit

Quantification

 Erreur de quantification & bruit

Quantification

Rapport signal sur bruit (RSBn)
SNR = 6.02 × N + 1.76 dB

Quantification

Distortion harmonique et dithering

Quantification

Distortion harmonique et dithering

Quantification

Quantification non-uniforme

Dans certaines applications, le signal présente rarement de grandes amplitudes mais il est souvent d’amplitude faible. C’est le cas des signaux de parole. Aussi, il est intéressant d’avoir une quantification où le pas de quantification est différent dans les faibles et les grandes amplitudes. En téléphonie, la « loi A » permet d’obtenir la quantification représentée.

Vincent Mazet

https://vincmazet.github.io/signal1/numerisation/quantification.html

3. Format, flux, culture informatique

A.1) Conteneur audio (format non compressé)

WAVE (.wav) - Waveform Audio File Format (Microsoft/IBM)

multicanal // LPCM et autres // métadonnées rudimentaires  

AIFF (.aif) - Audio Interchange File Format (Apple)

multicanal // PCM // métadonnées rudimentaires  

CAF (.caf) - Core Audio Format (Apple)
multicanal // LPCM et autres dont Apple Lossless // métadonnées avancées

BWF (.bwf) - Brodcast Wave Format (EuropBrodUnion)

Wave avec un bloc supplémentaire de méta-donnée (timestamp pour synchro)  

3. Format, flux, culture informatique

A.2) Codec audio (COdeur-DECodeur)

Fin 70s

mi 80s

fin 90s début 2000

3. Format, flux, culture informatique

A.2) Codec audio (COdeur-DECodeur)

3. Format, flux, culture informatique

A.3) Débit binaire, taille de fichier :

(en Kilo bit par seconde)

Débit : \frac{F_e.n.N}{1000}
Débit (CD) = \frac{44100.16.2}{1000} = 1411kbs

3. Format, flux, culture informatique

A.3) Débit binaire, taille de fichier :

où n est la résolution, N ne le nombre de canaux, t la durée en seconde et un résultat en octet

Taille = \frac{F_e.n.N.t}{8}

3. Format, flux, culture informatique

A.3) Débit binaire, taille de fichier :

Quelle place en mémoire pour 45 minutes d'enregistrement de 30 pistes à 96kHz 24bits ?

\frac{96000.30.24.60.45}{8} = 23328000000~o
= 23,328~Go

3. Format, flux, culture informatique

A.4) Flux audio, streaming :

3. Format, flux, culture informatique

A.5) Bus, protocole de transmission et connectique : USB Type A, B, C

3. Format, flux, culture informatique

A.5) Bus, protocole de transmission et connectique : USB Type A, B, C

3. Format, flux, culture informatique

A.5) Bus, protocole de transmission et connectique : IEEE 1394 (Firewire, i.Link)
  • 100 Mbits/s en v. IEEE 1394a-s100
  • 200 Mbits/s en v. IEEE 1394a-s200
  • 400 Mbits/s en v. IEEE 1394a-s400
  • 800 Mbits/s en v. IEEE 1394b-s800
  • 1 200 Mbits/s en v. IEEE 1394b-s1200
  • 1 600 Mbits/s en v. IEEE 1394b-s1600
  • 3 200 Mbits/s en v. IEEE 1394b-s3200

IEEE 1394-b

IEEE 1394-2000-a

IEEE 1394-1995-a

3. Format, flux, culture informatique

A.5) Bus, protocole de transmission et connectique : Thunderbolt

Thunderbolt 4 : 40 Gbit/s, 100W, 2x4k résolution 60Hz
Thunderbolt 5 : 80 Gbit/s
Connectique Mini Display ou USB-C et compatible protocole DisplayPort et PCIe

 

https://support.apple.com/fr-fr/111750